Question

如圖所示，由若干個(gè)點(diǎn)組成形如三角形的圖形，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有n（n＞1，n∈N）個(gè)點(diǎn)，每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)記為{a_n}，則

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2011a2012

=

2010

2011

．

Answer 1

分析：根據(jù)圖象的規(guī)律可得出通項(xiàng)公式a_n，進(jìn)而根據(jù)數(shù)列{

9

anan+1

}的特點(diǎn)可用列項(xiàng)法求其前n項(xiàng)和的公式，而

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2011a2012

又是前2011項(xiàng)的和，代入前n項(xiàng)和公式即可得到答案．

解答：解：每個(gè)邊有n個(gè)點(diǎn)，把每個(gè)邊的點(diǎn)數(shù)相加得3n，
這樣角上的點(diǎn)數(shù)被重復(fù)計(jì)算了一次，故第n個(gè)圖形的點(diǎn)數(shù)為3n-3，即a_n=3n-3
令S_n=

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

anan+1

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

=

n-1

n

，
則

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2011a2012

=S₂₀₁₁=

2010

2011

．
故答案為：

2010

2011

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和問(wèn)題．屬基礎(chǔ)題．