Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（a+1）x-b²-2b，且f(x+

1

2

)=f(

1

2

-x)，又知f（x）≥x恒成立，求：
（1）y=f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=log₂[f（x）-x-1]，求函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由f(x+

1

2

)=f(

1

2

-x)，知f（x）圖象的對稱軸，從而可求得a值，由f（x）≥x即（x-1）²-（b+1）²≥0恒成立，可得-（b+1）²≥0，由此 可解得b值；
（2）由（1）知g（x）=log₂（x²-2x），先求出函數(shù)g（x）的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：同增異減，即可求得g（x）的增區(qū)間；

解答：解：（1）由f(x+

1

2

)=f(

1

2

-x)，知f（x）圖象的對稱軸為x=

1

2

，
所以-

a+1

2

=

1

2

，解得a=-2，
f（x）≥x，即x²-x-b²-2b≥x，
所以x²-2x-b²-2b≥0，即（x-1）²-（b+1）²≥0，
因?yàn)閒（x）≥x恒成立，所以-（b+1）²≥0，所以b=-1，
所以y=f（x）=x²-x+1．
（2）由（1）知g（x）=log₂（x²-2x），
由x²-2x＞0解得x＜0或x＞2，所以函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（2，+∞），
因?yàn)閥=log₂t遞增，t=x²-2x在（2，+∞）上遞增，
所以g（x）在（2，+∞）上遞增，即g（x）的遞增區(qū)間為（2，+∞）上遞增；

點(diǎn)評：本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法是：同增異減．