Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=a，．
（1）設(shè)，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）若對于一切n∈N^*，都有a_n+1≥a_n恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，S_n+1-S_n=a_n+1=2S_n+4ⁿ，即S_n+1=3S_n+4ⁿ，設(shè)，則，從而可得b_n+1=3b_n，由此可求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）由①知S_n=4ⁿ+（a-4）×3^n-1，從而可得數(shù)列的通項，作差，利用a_n+1≥a_n恒成立，即可求a的取值范圍．
解答：解：（1）依題意，S_n+1-S_n=a_n+1=2S_n+4ⁿ，即S_n+1=3S_n+4ⁿ，
設(shè)，則
∴b_n+1=3b_n，
∵b₁=S₁-4=a-4
∴數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=（a-4）×3^n-1，n∈N^*．①（6分）
（2）由①知S_n=4ⁿ+（a-4）×3^n-1，
于是，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4ⁿ+（a-4）×3^n-1-[4^n-1+（a-4）×3^n-2]=3×4^n-1+2（a-4）3^n-2，
a_n+1-a_n=9×4^n-1+4（a-4）×3^n-2，
當(dāng)n≥2時，a_n+1≥a_n等價于9×4^n-1+4（a-4）×3^n-2≥0
∴36×+4（a-4）≥0
∴a≥-5．
綜上，所求的a的取值范圍是[-9，+∞）．（12分）
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列遞推通項，考查恒成立問題，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．