Question

設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x-a|，其中x∈R．
（1）分別寫出當(dāng)a=0．a(chǎn)=2．a(chǎn)=-2時函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）先討論絕對值內(nèi)的正負去掉絕對值符號，根據(jù)分段函數(shù)圖象的特征，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（2）用定義判斷函數(shù)的奇偶性．其步驟為先判斷定義域的對稱性，再判斷f（x）與f（-x）的關(guān)系，另外注意本題書寫的格式---先判斷后證明．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=x|x|=

x2    x≥0 -x2  x＜0

，
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；（2分）
當(dāng)a=2時，f(x)=

x2-2x x≥2 -x2+2x x＜2

f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1）和（2，+∞）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2）
當(dāng)a=-2時，f(x)=

x2+2x x≥-2 -x2-2x x＜-2

f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2）和（-1，+∞）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，-1）
（2）當(dāng)a=0時，f（x）=x|x|，所以f（x）為奇函數(shù)
因為定義域為R關(guān)于原點對稱，且f（-x）=-x|-x|=-f（x）
所以f（x）為奇函數(shù)
當(dāng)a≠0時，f（x）=x|x-a|為非奇非偶函數(shù)，
f（a）=0，f（-a）=-a|2a|，所以f（-a）≠f（a），f（-a）≠-f（a）
所以f（x）是非奇非偶函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷、二次函數(shù)的圖象以及分段函數(shù)的圖象和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．是對函數(shù)圖象的綜合考查，屬于基礎(chǔ)題目．