Question

如圖，在四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，AA₁＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)．

(1)求證：CD⊥平面ADD₁A₁；

(2)若直線AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值為，求k的值；

(3)現(xiàn)將與四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼接成一個(gè)新的棱柱，規(guī)定：若拼接成的新的四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案．問：共有幾種不同的方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為f(k)，寫出f(k)的表達(dá)式(直接寫出答案，不必要說明理由)

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查直線與直線．直線與平面的位置關(guān)系．柱體的概念及表面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力．推理論證能力．運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．分類與整合思想．化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分13分． 　　解：(Ⅰ)取CD中點(diǎn)E，連接BE 　　∵AB∥DE，AB＝DE＝3k 　　四邊形ABED為平行四邊形 　　且BE＝AD＝4k 　　在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝4k，BC＝5k 　　 　　，即BE⊥CD，又，所以CD⊥AD 　　平面ABCD，平面ABCD 　　，又， 　　平面 　　(Ⅱ)以D為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)(4k，0，0)，C(0，6k，0)，B1(4k，3k，1)，A1(4k，0，1) 　　所以，， 　　設(shè)平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，則由 　　得取y＝2，得n＝(3，2，－6k) 　　設(shè)AA1與平面AB1C所成角為，則 　　，解得k＝1．故所求k的值為1 　　(Ⅲ)共有4種不同的方案