Question

如圖，曲線y²＝x(y≥0)上的點P_i與x軸的正半軸上的點Q_i及原點O構成一系列正三角形：△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，…，△Q_n－1P_nQ_n，…．設正三角形P_nQ_n的邊長為a_n，n∈N*(記Q₀為O)，Q_n(S_n，0)．

(1)求a₁的值；

(2)求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；

(3)求證：當n≥2時，．

Answer 1

答案：
解析：

解　　(1)由條件可得P1(a1，a1)，代入曲線y2＝x(y≥0)，得 ＝a1．∵a1＞0，∴a1＝． 　　(2)∵Sn＝a1＋a2＋…＋an， 　　∴點Pn+1(Sn＋an+1，an+1)代入曲線y2＝x(y≥0)并整理得 Sn＝－an+1． 　　于是當n≥2，n∈N*時，an＝Sn－Sn－1＝(－an+1)－(－an)， 　　即(an+1＋an)＝(an+1＋an)·(an+1－an)． 　　∵an+1＞an＞0，∴an+1－an＝(n≥2，n∈N*)． 　　又當n＝1時，S1＝－a2，∴a2＝(－舍去)， 　　∴a2－a1＝，故an+1－an＝(n∈N*)． 　　所以數(shù)列{an}是首項為．公差為的等差數(shù)列，an＝n； 　　(3)由(2)得an＝n，當n≥2時， 　　欲證，只需證3n＋3＜4n2－4n，即證4n2－7n－3＞0． 　　設f(n)＝4n2－7n－3，當n≥時，f(n)遞增．而當n≥3時，有f(n)＞0成立． 　　所以只需驗證n＝2時不等式成立．事實上，． 　　綜上所述，原不等式成立．