Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為2

2

，離心率e=

2

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過左焦點(diǎn)F₁的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A、B，以F₂A、F₂B為鄰邊作平行四邊形AF₂BM，求該平行四邊形對角線F₂M的長度的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，2a=2

2

，e=

c

a

可求a，c，結(jié)合b²=a²-c²可求b，進(jìn)而可求橢圓方程
（2）由題意可得|BF2|=|

AF2

+

BF2

|，F(xiàn)₂（1，0）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分①斜率不存在時(shí)，②當(dāng)斜率存在時(shí)，

F2

A+

F2B

=（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₂）=（x₁+x₂-2，y₁+y₂），利用向量的數(shù)量積的性質(zhì)可先求|

F2A

+

F2B

|2=16-

4(7k2+3)

4k4+4k2+1

，可求

解答：解：（1）由題意可得，2a=2

2

∴a=

2

∵e=

c

a

=

2

2

∴c=1，b²=a²-c²=1
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1 
（2）∵|BF2|=|

AF2

+

BF2

|，F(xiàn)₂（1，0）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
當(dāng)斜率不存在時(shí)，|

F2A

+

F2B

|=4
當(dāng)斜率存在時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1）
聯(lián)立方程

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

可得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0
∴x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=

2k

1+2k2

∴

F2

A+

F2B

=（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₂）=（x₁+x₂-2，y₁+y₂）
∴|

AF2

+ 

BF2

|2=

(8k2+2)2+4k2

(1+2k2)2

=

64k4+36k2+4

4k4+4k2+1

∴|

F2A

+

F2B

|2=16-

4(7k2+3)

4k4+4k2+1

 
F₂M 的長度的取值范圍是（2，4]

點(diǎn)評：本題主要考查了利用橢圓的定義及性質(zhì)求解橢圓的方程及向量加法的平行四邊形 法則的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示等知識的綜合應(yīng)用．