Question

已知點A（2，0），⊙B：（x+2）²+y²=36．P為⊙B上的動點，線段BP上的點M滿足|MP|=|MA|．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點B（-2，0）的直線l與軌跡C交于S、T兩點，且

SB

=2

BT

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意有可得|MA|+|MB|=6，故點M的軌跡是以A、B 為焦點的橢圓，根據(jù)橢圓的定義可得a=3，
c=2，可得b=

5

，故軌跡C的方程為 

x2

9

 +

y2

5

=1．
 （Ⅱ） 設(shè)l的方程為y=k（x+2），代入

x2

9

+

y2

5

=1得，（5+9k²）x²+36k²x+36k²-45=0．可得
x1=

30-18k2

5+9k2

，x2=

-18k2-30

5+9k2

，由

SB

=2

BT

，可得 （-2-x₁，0-y₁）=2（x₂+2，y₂） ①，
由此求出斜率k的值，即得l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意有可得|MA|+|MB|=|MP|+|MB|=6＞|AB|，故點M的軌跡是以A、B 為焦點的橢圓，
a=3，c=2，∴b=

5

，故軌跡C的方程為 

x2

9

 +

y2

5

=1．
（Ⅱ） 顯然直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為y=k（x+2），代入

x2

9

+

y2

5

=1得，
（5+9k²）x²+36k²x+36k²-45=0．∵l過焦點，∴△＞0顯然成立．
設(shè)s（x₁，y₁），T（x₂，y₂），∵

SB

=2

BT

，∴（-2-x₁，0-y₁）=2（x₂+2，y₂） ①，
且

x1+x2=- 36k2 5+9k2 ② x1•x2= 36k2-45 5+9k2 ③

，由①②解得x1=

30-18k2

5+9k2

，x2=

-18k2-30

5+9k2

代入③
整理得：k²=3，∴k=±

3

，∴l(xiāng)的方程為y=±

3

(x+2)．

點評：本題考查橢圓的定義、標準方程的求法，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，兩個向量坐標形式的運算，求出
x1=

30-18k2

5+9k2

，x2=

-18k2-30

5+9k2

，是解題的難點．