Question

已知函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，對任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，總有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0且f（1）=0，則不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0的解集為（　�。�

A．（-1，0）∪（1，+∞）

B．（-∞，-1）∪（0，1）

C．（-∞，-1）∪（1，+∞）

D．（-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析：由題意可得，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，0）上也是增函數(shù)，f（1）=0=f（-1）．畫出函數(shù)f（x）的單調(diào)性示意圖，數(shù)形結(jié)合可得
不等式的解集．

解答：解：∵函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，
對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，總有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且在（-∞，0）上也是增函數(shù)．
∵f（1）=0，∴f（-1）=0．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)性示意圖如圖所示：
不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0，即

2f(x)

x

＜0，即x與f（x）的符號相反．
數(shù)形結(jié)合可得，不等式的解集為{x|-1＜x＜0，或0＜x＜1}，
故選D．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．