Question

7．設f（x）=|x-1|+|x+1|，（x∈R）
（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若存在非零實數(shù)b使不等式f（x）≥$\frac{|2b+1|+|1-b|}{|b|}$成立，求負數(shù)x的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出$\frac{|2b+1|+|1-b|}{|b|}$的最小值，問題轉(zhuǎn)化為f（x）≥3，即|x-1|+|x+1|≥3，分類討論，求出負數(shù)x的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）≤4，即|x-1|+|x+1|≤4，
x≥1時，x-1+x+1≤4，解得：1≤x≤2，
-1＜x＜1時，1-x+x+1=2＜4成立，
x≤-1時，1-x-x-1=-2x≤4，解得：x≥-2，
綜上，不等式的解集是[-2，2]；
（Ⅱ）由$\frac{|2b+1|+|1-b|}{|b|}$≥$\frac{|2b+1+b-1|}{|b|}$=3，
若存在非零實數(shù)b使不等式f（x）≥$\frac{|2b+1|+|1-b|}{|b|}$成立，
即f（x）≥3，即|x-1|+|x+1|≥3，
x≤-1時，-2x≥3，∴x≤-1.5，∴x≤-1.5；
-1＜x≤1時，2≥3不成立；
x＞1時，2x≥3，∴x≥1.5，∴x≥1.5．
綜上所述x≤-1.5或x≥1.5，
故負數(shù)x的最大值是-1.5．

點評 本題考查三角不等式，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．