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討論函數y=ax2-2(3a+1)x+3在[-3,3]上的單調性.
分析:先對字母a的取值進行分類討論::①當a=0時;②當a>0時;③當a<0時.再針對二次函數圖象,找對稱軸,利用開口向上(或向下)的二次函數在對稱軸右邊遞增(減),左邊遞減(增)即可研究其單調性.
解答:解:①當a=0時,y=-2x+3,是一次函數,在[-3,3]上單調遞減;
②當a>0時,函數y=ax2-2(3a+1)x+3的圖象是對稱軸為x=3+
1
a
>3,開口向上的拋物線,
所以在[-3,3]上是減函數;
③當a<0時,函數y=ax2-2(3a+1)x+3的圖象是對稱軸為x=3+
1
a
<3,開口向下的拋物線,
(i)當-
1
6
≤a<0時,函數y=ax2-2(3a+1)x+3的圖象是對稱軸為x=3+
1
a
≤-3,開口向下的拋物線,
所以在[-3,3]上是減函數;
(ii)當a<-
1
6
時,函數y=ax2-2(3a+1)x+3的圖象是對稱軸為x=3+
1
a
∈[-3,3],開口向下的拋物線,
所以在[-3,3+
1
a
]上是增函數;在(3+
1
a
,3]上是減函數;
綜上,a≥-
1
6
時,在[-3,3]上是減函數;當a<-
1
6
時,在[-3,3+
1
a
)上是增函數;在(3+
1
a
,3]上是減函數.
點評:本題主要考查了二次函數的單調性,二次函數的單調區(qū)間有對稱軸和開口方向二者決定,開口向上的二次函數在對稱軸右邊遞增,左邊遞減;開口向下的二次函數在對稱軸左邊遞增,右邊遞減.
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2

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