Question

（2013•東城區(qū)模擬）已知函數(shù)f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

則下列結(jié)論正確的是（　　）

A．f（x）在（0，1）上恰有一個零點

B．f（x）在（0，1）上恰有兩個零點

C．f（x）在（-1，0）上恰有一個零點

D．f（x）在（-1，0）上恰有兩個零點

Answer 1

分析：求導(dǎo)數(shù)可判函數(shù)在（0，1）和（-1，0）都單調(diào)遞增，再判斷f（-1），f（0），f（1）的符號，結(jié)合零點的判定定理可得答案．

解答：解：由題意可得f（0）=1，f′（x）=1-x+x²-x⁴+…+x²⁰¹²，
=

1×[1-(-x)2013]

1-(-x)

=

1+x2013

1+x

，
當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）=

1+x2013

1+x

＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
又可得f（1）=1+（1-

1

2

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2011

-

1

2012

）+

1

2013

＞0，
從而可得f（0）f（1）＞0，
由函數(shù)零點的判定定理可得：函數(shù)f（x）在（0，1）沒有零點；
當(dāng)x∈（-1，0）時，f′（x）=

1+x2013

1+x

＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
又可得f（-1）=1-1-

1

2

+（-

1

3

-

1

4

）+…+（-

1

2011

-

1

2012

）-

1

2013

＜0，
從而可得f（0）f（-1）＜0，
由函數(shù)零點的判定定理可得：函數(shù)f（x）在（-1，0）上有零點，且唯一一個．
故選C

點評：本題考查函數(shù)零點的判斷，涉及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和等比數(shù)列的求和公式，屬中檔題．