設數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，它的前n項和為Sn（n∈N*），已知點(an，4Sn)在函數(shù)f (x)=x2+2x+1的圖象上．

（1）證明{an}是等差數(shù)列，并求an；

（2）設m、k、p∈N*，m+p=2k，求證：＋≥；

（3）對于（2）中的命題，對一般的各項均為正數(shù)的等差數(shù)列還成立嗎？如果成立，請證明你的結(jié)論，如果不成立，請說明理由。

 

 

【答案】

 解：（1）∵ ，

∴   (n≥2)．

兩式相減得．

整理得 ，

∵ ，

∴ （常數(shù)）．

∴ {an}是以2為公差的等差數(shù)列．

又，即，解得，

∴ an=1+(n-1)×2=2n-1．………………………………………………………4分

（2）由（1）知，∴ Sm=m2，Sp=p2，Sk=k2．

由

≥≥=0，

即≥．………………………………………………………………7分

（3）結(jié)論成立，證明如下：

設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則，

∵

，

把代入上式化簡得

=≥0，

∴ Sm+Sp≥2Sk．

又=

≤

，

∴ ≥．

故原不等式得證．………………………………………………………………14分

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且對任意n∈N+，都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項和．
（Ⅰ）求證：an2=2Sn-an；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ）設bn=3n+（-1）n-1λ•2an（λ為非零整數(shù)，n∈N*）試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，Sn是其前n項和，且對任意n∈N*都有an2=2Sn-an．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若bn=（2n+1）2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的各項均為正實數(shù)，bn=log2an，若數(shù)列{bn}滿足b2=0，bn+1=bn+log2p，其中p為正常數(shù)，且p≠1．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）是否存在正整數(shù)M，使得當n＞M時，a1•a4•a7•…•a3n-2＞a16恒成立？若存在，求出使結(jié)論成立的p的取值范圍和相應的M的最小值；若不存在，請說明理由；
（3）若p=2，設數(shù)列{cn}對任意的n∈N*，都有c1bn+c2bn-1+c3bn-2+…+cnb1=-2n成立，問數(shù)列{cn}是不是等比數(shù)列？若是，請求出其通項公式；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，它的前n項和為Sn，點（an，Sn）在函數(shù)y=
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
的圖象上，數(shù)列{bn}的通項公式為bn=
an+1
an
+
an
an+1
，其前n項和為Tn．
（1）求an；   
（2）求證：Tn-2n＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•江蘇一模）設數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項的和為Sn，對于任意正整數(shù)m，n，Sm+n=
2a2m(1+S2n)
-1恒成立．
（1）若a1=1，求a2，a3，a4及數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若a4=a2（a1+a2+1），求證：數(shù)列{an}成等比數(shù)列．

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