Question

15．設(shè)過(guò)曲線f（x）=e^x+x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上任意一點(diǎn)處的切線為l₁，總存在過(guò)曲線g（x）=2cosx-ax上一點(diǎn)處的切線l₂，使得l₁⊥l₂，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1，2]．

Answer 1

分析 求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)（x₁，y₁）為f（x）上的任一點(diǎn)，可得切線的斜率k₁，求得g（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)g（x）圖象上一點(diǎn)（x₂，y₂）可得切線l₂的斜率為k₂，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，分別求y₁=a+2sinx₂的值域A，y₂=$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$的值域B，由題意可得B⊆A，可得a的不等式，可得a的范圍．

解答 解：f（x）=e^x+x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x+1，
設(shè)（x₁，y₁）為f（x）上的任一點(diǎn)，
則過(guò)（x₁，y₁）處的切線l₁的斜率為k₁=e^x₁+1，
g（x）=2cosx-ax的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=-2sinx-a，
過(guò)g（x）圖象上一點(diǎn)（x₂，y₂）處的切線l₂的斜率為k₂=-a-2sinx₂．
由l₁⊥l₂，可得（e^x₁+1）•（-a-2sinx₂）=-1，
即a+2sinx₂=$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$，
任意的x₁∈R，總存在x₂∈R使等式成立．
則有y₁=a+2sinx₂的值域?yàn)锳=[a-2，a+2]．
y₂=$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$的值域?yàn)锽=（0，1），
有B⊆A，即（0，1）⊆[a-2，a+2]，
即$\left\{\begin{array}{l}{a-2≤0}\\{a+2≥1}\end{array}\right.$，
解得-1≤a≤2．
故答案為：[-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查任意存在性問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和值域的包含關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．