已知點(diǎn)A（4，0），B（1，0），若動(dòng)點(diǎn)T滿足
AB
•
AT
=6|
BT
|．
（1）求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡Γ；
（2）在x軸正半軸上是否存在一點(diǎn)P，過(guò)該點(diǎn)的直線l（不與x軸重合）與曲線Γ交于兩點(diǎn)M，N，使得
1
|PM|2
+
1
|PN|2
為定值，若有求出P點(diǎn)坐標(biāo)和定值，若不存在，說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：向量與圓錐曲線
分析：（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，得到向量
AT
，
AB
，
BT
的坐標(biāo)，代入
AB
•
AT
=6|
BT
|整理得到動(dòng)點(diǎn)T的軌跡Γ；
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)P（m，0）（m＞0），使得
1
|PM|2
+
1
|PN|2
為定值，設(shè)出M，N的坐標(biāo)及直線l的方程x=ty+m，
把
1
|PM|2
+
1
|PN|2
用M，N的坐標(biāo)及t表示，再把直線和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到M，N的縱坐標(biāo)的關(guān)系，代入
1
|PM|2
+
1
|PN|2
整理得到關(guān)于m的表達(dá)式，然后由分子的系數(shù)關(guān)系求得m的值，則答案可求．
解答： 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)T（x，y），
∵A（4，0），B（1，0），
∴
AT
=（x-4，y），
AB
=（-3，0），
BT
=（x-1，y），
代入
AB
•
AT
=6|
BT
|，整理得：
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)P（m，0）（m＞0），使得
1
|PM|2
+
1
|PN|2
為定值．
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），直線l：x=ty+m，
則|PM|2=(x1-m)2+y12=(t2+1)y12，|PN|2=(t2+1)y22．
∴
1
|PM|2
+
1
|PN|2
=
1
(t2+1)
(
1
y12
+
1
y22
)=
1
(t2+1)
y12+y22
y12y22

=
1
(t2+1)
(y1+y2)2-2y1y2
y12y22
  （1）
聯(lián)立x=ty+m與
x2
4
+
y2
3
=1，整理得：（3t2+4）y2+6tmy+3m2-12=0．
∴y1+y2=
-6tm
3t2+4
，y1y2=
3m2-12
3t2+4
，代入（1）式得：
1
|PM|2
+
1
|PN|2
=
1
(t2+1)
•
(
-6tm
3t2+4
)2-2•
3m2-12
3t2+4
(
3m2-12
3t2+4
)2
=
t2(18m2+72)+96-24m2
t2(3m2-12)2+(3m2-12)2
．
要使得上式為定值，須18m2+72=96-24m2，解得m=
2
7
7
，
此時(shí)
1
|PM|2
+
1
|PN|2
取到定值
7
9
．
∴當(dāng)P為（
2
7
7
，0）時(shí)，
1
|PM|2
+
1
|PN|2
取到定值
7
9
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查了向量在解題中的應(yīng)用，體現(xiàn)了設(shè)而不求的解題思想方法，考查了學(xué)生的綜合運(yùn)算能力，是壓軸題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知全集U=Z，A={-3，1，2}，B={1，2，3}，則A∩∁UB為（　　）
A、{-3，1}
B、{1，2}
C、{-3}
D、{-3，2}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4，a3，a5成等差數(shù)列，且Sk=33，Sk+1=-63，其中k∈N*，則Sk+2的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某校高二一個(gè)班的一次地理測(cè)試中部分?jǐn)?shù)據(jù)的莖葉圖及頻率分布表如下：
分組 頻數(shù) 頻率
[50，60﹚ 0.08
[60，70﹚ 7
[70，80﹚ 10
[80，90﹚
[90，100﹚ 2
其中，莖葉圖中缺少了成績(jī)?cè)赱80，90﹚之間的數(shù)據(jù)，
（Ⅰ）求班級(jí)的總?cè)藬?shù)；
（Ⅱ）將頻率分布表補(bǔ)充完整；
（Ⅲ）若從[80，100﹚之間的數(shù)據(jù)中抽取2個(gè)進(jìn)行分析，求至少有一個(gè)數(shù)據(jù)在[90，100﹚之間的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx-2cos2x+1+
3
．求：
（1）f（
π
4
）；
（2）函數(shù)f（x）的最小正周期及最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（x+
2
x 2
）6的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x3的系數(shù)為
 
．（用數(shù)字作答）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系x0y中，圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若不等式log2（|x+1|+|x-2|-m）≥2恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的一個(gè)程序框圖，若f（x）在[-1，a]上的值域?yàn)閇0，2]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A、（0，1]
B、[1，
3
]
C、[1，2]
D、[
3
，2]

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