已知函數(shù)f(x)的二項式系數(shù)為a，且不等式f(x)>-2x的解集為(1，3)．   (1)若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根，求f(x)的解 (2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍．

 

 [考場錯解]  (1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)．∵f(x)+2x=ax2+(b+2)x+c>0的解集．為(1，3)，∴1、3是方程ax2+(b+2)x+c=0的兩根，∴

∴f(x)=ax2-(2+4a)x+3a  ① 由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0  ②

∵方程②有兩個相等的根，∴△=[-(2+4a)]2-4a·9a=0即 5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-.

∴f(x)的解析式為f(x)=x2-6x+9或f(x)=- x2-x-.

(2)由f(x)=ax2-(2+4a)x+3a=a(x-)2-可得f(x)的最大值為-．

    令->0a(a+2+)(a+2-)<0解得0<-2-或-2+<a<0．

    故當f(x)的最大值為正數(shù)時，實數(shù)a的取值范圍是(-∞，-2-)∪(-2+，0)．

    [專家把脈]  上面解答由f(x)+2x＞0的解集為(1，3)．忽視了隱含條件a＜0．所以(1)應(yīng)舍去a=1．另外第(2)問若沒有a＜0這個條件，也不能說f(x)的最大值是-，從而很不容易求得a的范圍．

②區(qū)間端點函數(shù)值的正負；③對稱軸x=-與區(qū)間端點的關(guān)系．另外，對于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值要抓住頂點的橫坐標與閉區(qū)間的相對位置確定二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解.

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•西城區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=
23
x3-2x2+(2-a)x+1，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•西城區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=
2ax+a2-1x2+1
，其中a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在原點處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•德陽二模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+1，（x＞0），g（x）=ax2-x（x＞0，a＞0），F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）
（1）若F（x）在x=2處取得極值，求a；
（2）求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象在公共點P（x0，y0）處有相同的切線，求證：2＜x0＜3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•石景山區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=
23
x3-2x2+(2-a)x+1，其中a∈R．
（Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•崇明縣二模）已知函數(shù)f(x)=5-
6
x
，數(shù)列{an}滿足：a1=a，an+1=f（an），n∈N*．
（1）若對于n∈N*，都有an+1=an成立，求實數(shù)a的值；
（2）若對于n∈N*，都有an+1＞an成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)數(shù)列{bn}滿足b1=
3
2
，bn+1=
6
5-bn
．求證：當a為數(shù)列{bn}中的任意一項時，數(shù)列{an}必有相應(yīng)一項的值為1．

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