已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定義在R上的函數(shù),它在[-1,0]和[4,5]上有相同的單調(diào)性,在[0,2]和[4,5]上有相反的單調(diào)性.
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)在函數(shù)f(x)的圖象上是否存在點(diǎn)M(x0,y0),使得f(x)在點(diǎn)M的切線斜率為3b?若存在,求出M點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,則說明理由;
(Ⅲ)設(shè)f(x)的圖象交x軸于A、B、C三點(diǎn),且B的坐標(biāo)為(2,0),求線段AC的長(zhǎng)度|AC|的取值范圍.
(1)由條件可知f(x)在區(qū)間[-1,0]和[0,2]上有相反的單調(diào)性,
∴x=0是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),
∴f′(0)=0
而f′(x)=3ax2+2bx+c,
故c=0.
(2)令f′(x)=0,則3ax2+2bx=0,
解得 x1=0,x2=-
2b
3a

又f(x)在區(qū)間[0,2]和[4,5]上有相反的單調(diào)性,
-
2b
3a
≥2
-
2b
3a
≤4
解得 -6≤
b
a
≤-3

假設(shè)存在點(diǎn)M(x0,y0),使得f(x)在點(diǎn)M處的切線斜率為3b,則f'(x0)=3b 即3a
x20
+2bx0-3b=0所以△=4ab(
b
a
+9)

-6≤
b
a
≤-3∴ab<0,
b
a
+9>0
,∴△<0,x0無解
故不存在點(diǎn)M(x0,y0),使得f(x)在點(diǎn)M處的切線斜率為3b
(3)設(shè)A(α,0),C(β,0),
則由題意可令f(x)=a(x-α)(x-2)(x-β)=a[x3-(2+α+β)x2+(2α+2β+αβ)x-2αβ]…(2分)
b=-a(2+α+β)
d=-2aαβ
,解得
α+β=-
b
a
-2
αβ=-
d
2a

又∵函數(shù)f(x)的圖象交x軸于B(2,0),
∴f(2)=0即8a+4b+d=0
∴d=-4(b+2a),
αβ=4+
2b
a

從而 |AC|=|α-β|=
(α+β)2-4αβ
=
(
b
a
-2)
2
-16

-6≤
b
a
≤-3

∴當(dāng)
b
a
=-6
時(shí),|AC|max=4
3
;當(dāng)
b
a
=-3
時(shí),|AC|min=3.
所以3≤|AC|≤4
3
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