已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率是
5
3
，定點M（2，0）橢圓短軸的端點是B1，B2，且MB1⊥MB2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點P（
9
2
，0），設(shè)過點M且斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點，求證：PM是∠APB的平分線．
分析：（Ⅰ）由橢圓離心率計算公式可得 
5
9
=e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
，解得
b
a
=
2
3
．依題意△MB1B2是等腰直角三角形，從而b=2，故a=3．即可．
（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=my+2．將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入并證明kPA+kPB=0，即可．
解答：（Ⅰ）解：由 
5
9
=e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
，得
b2
a2
=
4
9
，即
b
a
=
2
3
．
依題意△MB1B2是等腰直角三角形，從而b=2，故a=3．
所以橢圓C的方程是
x2
9
+
y2
4
=1．
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=my+2．
將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，
消去x得（4m2+9）y2+16my-20=0．
所以 y1+y2=
-16m
4m2+9
，y1y2=
-20
4m2+9
．（*）
所以kPA+kPB=
y1
x1-
9
2
+
y2
x2-
9
2
=
y1(my2-
5
2
)+y2(my1-
5
2
)
(my1-
5
2
)(my1-
5
2
)
=
2my1y2-
5
2
(y1+y2)
m2y1y2-
5
2
m(y1+y2)+
25
4
．
將 （*）代入上式得，kPA+kPB=0，
則直線PA，PB的傾斜角互補，從而使PM是∠APB的平分線．
點評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系、PM是∠APB的平分線?kPA+kPB=0等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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