Question

10．已知正三角形ABC邊長為2，以點A為圓心，1為半徑作圓，PQ是該圓任意一條直徑，且有：$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow a\;，\;\;\overrightarrow{BC}=\overrightarrow b\;，\;\;\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow p$，求$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$的取值范圍．

Answer 1

分析 可先畫出圖形，而$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}$，代入$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$，根據(jù)條件進行數(shù)量積的運算即可得出$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}=1-2cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BC}＞$，結(jié)合圖形即可看出$0≤＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BC}＞≤π$，從而可求出$cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BC}＞$的范圍，進而可求出$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$的取值范圍．

解答 解：如圖，

$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}=（\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}）$
=$-（\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AC}）$
=$-{\overrightarrow{AP}}^{2}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=$-1-2cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BC}＞+2$
=$1-2cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BC}＞$；
∵$0≤＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BC}＞≤π$；
∴$-1≤cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BC}＞≤1$；
∴$-1≤\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}≤3$；
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$的取值范圍為[-1，3]．

點評 考查向量減法的幾何意義，相反向量的概念，向量的數(shù)乘運算，以及向量數(shù)量積的運算及計算公式，向量夾角的概念及范圍．