Question

已知實(shí)數(shù)，函數(shù)。
（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上的點(diǎn)均在不等式，所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。

Answer 1

(1)單調(diào)遞增；（2）≤a<0或0<a≤1；（3）.

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，（1）判斷討論函數(shù)的單調(diào)性，可以求出其導(dǎo)數(shù)，然后解不等式，其解集區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，不等式的解集區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）在區(qū)間上是增函數(shù)，說(shuō)明不等式在區(qū)間上恒成立，本題中可求出，因此不等式，由于，則在上恒成立，即的最小值，記，它是二次函數(shù)，要求它的最小值，可分和討論；（3）題意是不等式在上恒成立，記，則當(dāng)時(shí)，恒成立，求其導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上，，為減函數(shù)，不恒成立（如），時(shí)，此時(shí)要討論與的大小，以便討論函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值，因?yàn)椴坏仁?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824050152391584.png" style="vertical-align:middle;" />恒成立，就是.
（1）當(dāng)a=1時(shí)，，
所以，                                2分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824050152734391.png" style="vertical-align:middle;" />，所以恒成立，
所以在上單調(diào)遞增；                                    3分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824050152796953.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824050151736463.png" style="vertical-align:middle;" />在[1, 4]上是增函數(shù)，所以在[1, 4]上恒成立，
即在[1, 4]上恒成立，①                                5分
令，對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824050151626403.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，要使①成立，只需g(1)≥0，解得：a≤1，所以0<a≤1，
當(dāng)時(shí)，要使①成立，只需g(4)≥0，解得：a≥，所以≤a<0，
綜上，≤a<0或0<a≤1；                                            8分
（3）由題意，有在上恒成立，
令，則在上恒成立，②
所以，                        10分
當(dāng)a<0時(shí)，因?yàn)閤>2，則，所以在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240501531401045.png" style="vertical-align:middle;" />，所以②不恒成立，                12分
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以只需，解得：，
所以時(shí)②恒成立；                                            14分
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，
所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824050153405979.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以②不恒成立，
綜上，實(shí)數(shù) 的取值范圍是：。                        16分