Question

設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線C于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且y₁y₂=-4．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且點(diǎn)E在拋物線C上，求直線l傾斜角；
（3）若點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，直線MF，MA，MB的斜率分別為k，k₁，k₂．求證：當(dāng)k為定值時(shí)，k₁+k₂也為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，利用根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（2）根據(jù)向量和（1）的結(jié)論可用k表示E點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程即可得出直線l的斜率和傾斜角；
（3）利用向量計(jì)算公式和（1）中的根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．
解答：解：（1）根據(jù)題意可知：，設(shè)直線l的方程為：，則：
聯(lián)立方程：，消去x可得：y²-2pky-p²=0（*），
根據(jù)韋達(dá)定理可得：，∴p=2，
∴拋物線C的方程：y²=4x．
（2）設(shè)E（x，y），則：，由（*）式可得：y₁+y₂=2pk=4k
∴y=8k，
又，∴
∴
∵，∴64k²=4（8k²+4），∴2k²=1，∴
∴直線l的斜率，
∴傾斜角為或
（3）可以驗(yàn)證該定值為2k，證明如下：
設(shè)M（-1，y_M），則：，，
∵，∴
∴
=
=
=
∴k₁+k₂=2k為定值．
點(diǎn)評：熟練掌握直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為直線方程與拋物線的方程聯(lián)立得到一元二次方程、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系、斜率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．