設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2tx+2,其中t∈R.
(1)若t=1,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,4]上的取值范圍;
(2)若t=1,且對(duì)任意的x∈[a,a+2],都有f(x)≤5,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(3)若對(duì)任意的x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8,求t的取值范圍.
分析:(1)若t=1,則f(x)=(x-1)2+1,根據(jù)二次函數(shù)在[0,4]上的單調(diào)性可求函數(shù)的值域
(2)由題意可得函數(shù)在區(qū)間[a,a+2]上,[f(x)]max≤5,分別討論對(duì)稱軸x=t與區(qū)間[a,a+2]的位置關(guān)系,進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性,可求最大值,進(jìn)而可求a的范圍
(3)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值為M,最小值為m,對(duì)任意的x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8等價(jià)于M-m≤8,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求
解答:解:因?yàn)閒(x)=x2-2tx+2=(x-t)2+2-t2,
所以f(x)在區(qū)間(-∞,t]上單調(diào)減,在區(qū)間[t,∞)上單調(diào)增,且對(duì)任意的x∈R,都有f(t+x)=f(t-x),
(1)若t=1,則f(x)=(x-1)2+1.
①當(dāng)x∈[0,1]時(shí).f(x)單調(diào)減,從而最大值f(0)=2,最小值f(1)=1.
所以f(x)的取值范圍為[1,2];
②當(dāng)x∈[1,4]時(shí).f(x)單調(diào)增,從而最大值f(4)=10,最小值f(1)=1.
所以f(x)的取值范圍為[1,10];
所以f(x)在區(qū)間[0,4]上的取值范圍為[1,10].                     …(3分)
(2)“對(duì)任意的x∈[a,a+2],都有f(x)≤5”等價(jià)于“在區(qū)間[a,a+2]上,[f(x)]max≤5”.
①若t=1,則f(x)=(x-1)2+1,
所以f(x)在區(qū)間(-∞,1]上單調(diào)減,在區(qū)間[1,∞)上單調(diào)增.
②當(dāng)1≤a+1,即a≥0時(shí),
由[f(x)]max=f(a+2)=(a+1)2+1≤5,得-3≤a≤1,
從而 0≤a≤1.
③當(dāng)1>a+1,即a<0時(shí),由[f(x)]max=f(a)=(a-1)2+1≤5,得-1≤a≤3,
從而-1≤a<0.
綜上,a的取值范圍為區(qū)間[-1,1].                             …(6分)
(3)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值為M,最小值為m,
所以“對(duì)任意的x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8”等價(jià)于“M-m≤8”.
①當(dāng)t≤0時(shí),M=f(4)=18-8t,m=f(0)=2.
由M-m=18-8t-2=16-8t≤8,得t≥1.
從而 t∈∅.
②當(dāng)0<t≤2時(shí),M=f(4)=18-8t,m=f(t)=2-t2
由M-m=18-8t-(2-t2)=t2-8t+16=(t-4)2≤8,得
4-2
2
≤t≤4+2
2

從而  4-2
2
≤t≤2.
③當(dāng)2<t≤4時(shí),M=f(0)=2,m=f(t)=2-t2
由M-m=2-(2-t2)=t2≤8,得-2
2
≤t≤2
2

從而 2<t≤2
2

④當(dāng)t>4時(shí),M=f(0)=2,m=f(4)=18-8t.
由M-m=2-(18-8t)=8t-16≤8,得t≤3.
從而 t∈∅.
綜上,t的取值范圍為區(qū)間[4-2
2
,2
2
].                      …(10分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的求解,解題的關(guān)鍵是確定二次函數(shù)的對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系,體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用.
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設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1),a∈R.(注:(ln(x+1))′=
1x+1
).
(1)討論f(x)的單調(diào)性.
(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2,求f(x2)的取值范圍.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線為y=x,求實(shí)數(shù)m的值;
(2)當(dāng)m=2時(shí),若方程f(x)-h(x)=0在[1,3]上恰好有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x+aln(x+1),其中a≠0.
(1)若a=-6,求f(x)在[0,3]上的最值;
(2)若f(x)在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:不等式ln
n+1
n
n-1
n3
(n∈N*)恒成立.

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