已知橢圓的左右焦點分別是，離心率，為橢圓上任一點，且的最大面積為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)斜率為的直線交橢圓于兩點，且以為直徑的圓恒過原點，若實數(shù)滿足條件，求的最大值.

（Ⅰ）橢圓的方程；（Ⅱ）的最大值為.

解析試題分析：（Ⅰ）依題意得：，這是一個關(guān)于的方程組，解這個方程組便可得的值，從而得橢圓的方程.
（Ⅱ）設(shè)，由于以為直徑的圓恒過原點，所以，即……………………………………………………①
設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得：、，代入①便得一個含的等式.
將變形化簡得：.
因此，要求的最大值，只需求的最大值，而可以用含的式子表示出來，再利用前面含的等式換掉一個變量，得一個只含一個變量的式子，再利用求函數(shù)最值的方法，便可求出其最大值.
試題解析：（Ⅰ）依題意得：，解得：，
于是：橢圓的方程，
（Ⅱ）設(shè)直線的方程由得：，
設(shè)，則.
由于以為直徑的圓恒過原點，于是，即，
又，
于是：，即
依題意有：，即.
化簡得：.
因此，要求的最大值，只需求的最大值，下面開始求的最大值：
.
點到直線的距離，于是：.
又因為，所以，
代入得.
令，
于是：.
當(dāng)即，即時，取最大值，且最大值為.
于是：的最大值為.
考點：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線；3、函數(shù)的最值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過點P（4，0）且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）若B點關(guān)于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點.

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如圖示：已知拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于、兩點，經(jīng)過、兩點分別作拋物線的切線、，切線與相交于點.

（1）當(dāng)點在第二象限，且到準(zhǔn)線距離為時，求；
（2）證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.
（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；
（2）設(shè)為平面上的點，滿足：存在過點的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點的坐標(biāo).

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設(shè)雙曲線以橢圓的兩個焦點為焦點,且雙曲線的一條漸近線是，
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于不同兩點,且都在以為圓心的圓上,求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點為F2，點F1與F2關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，以F1,F2為焦點的橢圓C過點.
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點，過點F2作直線與橢圓C交于A,B兩點，且，若的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的一個頂點為，焦點在軸上，若右焦點到直線的距離為3.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點、，當(dāng)時，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知經(jīng)過點A（－4，0）的動直線l與拋物線G：相交于B、C，當(dāng)直線l的斜率是時，．
（Ⅰ）求拋物線G的方程；
（Ⅱ）設(shè)線段BC的垂直平分線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、分別是橢圓的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于、兩點，其中在第一象限．過作軸的垂線，垂足為．連接，并延長交橢圓于點．設(shè)直線的斜率為．

（Ⅰ）當(dāng)直線平分線段時，求的值；
（Ⅱ）當(dāng)時，求點到直線的距離；
（Ⅲ）對任意，求證：．

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