Question

如圖，已知ABCD為平行四邊形，∠A=60°，AB=6，點E在CD上，BD⊥AD，BD交EF于點N，且

AF

FB

+

DN

NB

+

DE

EC

=2，現(xiàn)將四邊形ADEF沿EF折起，使點D在平面BCEF上的射影恰在B處．
（1）求證：BN⊥CD
（2）試問在直線DN上是否存在點G，使BG∥平面EDC，若存在，求出直線CG與平面EDC所成的正弦值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間角

分析：（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明BN⊥平面ABCD，即可證明BN⊥CD
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法即可得到結(jié)論．

解答： 證明：（1）∵點D在平面BCEF上的射影恰好在點B處，
∴BD⊥BN，又BN⊥BC，
于是BN⊥平面ABCD，而CD?平面ABCD，
故BN⊥CD
（2）分別以BN，BC，BD所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
由題可得N（

3

，0，0），D（0，0，3），C（0，3，0），E（

3

，2，0），
設平面EDC的法向量為

m

=（x，y，z），
則

DE

=（

3

，2，-3），

DC

=（0，3，-3），
由

m • DE =0 m • DC =0

，即

3 x+2y-3z=0 3y-3z=0

，令x=1，則y=z=

3

，
即

m

=（1，

3

，

3

），

DN

=(

3

，0，-3)，
假設存在點G，使BG∥平面EDC，設G（x，y，z），
則

DG

=(x，y，z-3)，
∵

DG

∥

DN

，
∴y=0，z=3-

3

x，

BC

=(x，0，3-

3

x)，
∵BG∥平面EDC，
∴

BG

⊥

m

，
即

BG

•

m

=0，解得x=

3 3

2

，即存在G（

3 3

2

，0，-

3

2

），使BG∥平面EDC，

CG

=(

3 3

2

，-3，-

3

2

)，
則cos＜

CG

，

m

＞=

CG • m

| CG |•| m |

=-

42

14

，
∴直線CG與平面EDC所成的正弦值為

42

14

．

點評：本題主要考查空間線面垂直的判定，以及直線和平面所成角的求解，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．