Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（2x+3）+x²
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）求f（x）在區(qū)間[-

3

4

，

1

4

]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)對數(shù)定義求出函數(shù)的定義域，然后令f′（x）=0求出函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的增區(qū)間，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的減區(qū)間，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）知f（x）在區(qū)間[-

3

4

，

1

4

]的最小值為f（-

1

2

）求出得到函數(shù)的最小值，又因?yàn)閒（-

3

4

）-f（

1

4

）＜0，得到
f（x）在區(qū)間[-

3

4

，

1

4

]的最大值為f（

1

4

）求出得到函數(shù)的最大值．

解答：解：f（x）的定義域?yàn)椋?

3

2

，+∞）
（1）f′（x）=

2

2x+3

+2x=

4x2+6x+2

2x+3

當(dāng)-

3

2

＜x＜-1時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)-1＜x＜-

1

2

時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞-

1

2

時(shí)，f′（x）＞0
從而，f（x）在區(qū)間（-

3

2

，-1），（-

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，-

1

2

）上單調(diào)遞減
（2）由（1）知f（x）在區(qū)間[-

3

4

，

1

4

]的最小值為f（-

1

2

）=ln2+

1

4

又f（-

3

4

）-f（

1

4

）=ln

3

2

+

9

16

-ln

7

2

-

1

16

=ln

3

7

+

1

2

=

1

2

（1-ln

49

9

）＜0
所以f（x）在區(qū)間[-

3

4

，

1

4

]的最大值為f（

1

4

）=

1

16

+ln

7

2

．

點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上極值的能力．