Question

（21）數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，已知，s_n=n²a_n-n(n-1),n=1，2…

（Ⅰ）寫出s_n與的遞推關(guān)系式（n2）,并求s_n關(guān)于n的表達(dá)式：

（Ⅱ）設(shè)求數(shù)列｛b_n｝的前n項(xiàng)和T_n。

Answer 1

本小題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查分析問題和歸納推理能力。

（Ⅰ）解法1：當(dāng)時(shí)，，即

        ①

已知，由遞推關(guān)系式可得

由此，可猜想：②

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明②式：

證明：（i）當(dāng)時(shí)，由條件，又②式的右邊等于，所以②式成立.

（ii）假設(shè)時(shí)，②式成立，即

則當(dāng)時(shí)，

故當(dāng)n=k+1時(shí)，②式也成立。

由（i），（ii）知，對(duì)一切正整數(shù)n, ②式成立.

解法2：當(dāng)n≥2時(shí)，

即        

于是        .

∴{}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列。

因而=1+（n-1）=n，故.

（Ⅱ）解：∵

∴

∴                  ③

當(dāng)p=0時(shí)，=0；

當(dāng)p=1時(shí)，

    

當(dāng)時(shí)，在③式兩邊同乘以p，得到

                   ④

③—④得

∴

綜上所述：