Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁≠0，2a_n-a₁=S₁S_n，n∈N*．
（Ⅰ）求a₁，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）首先利用遞推關(guān)系式，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求出前n項(xiàng)的和．

解答： 解：（Ⅰ）∵S₁=a₁∴n=1時(shí)2a₁-a₁=S₁•S₁
a₁≠0，a₁=1．
所以n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

2an-a1

S1

-

2an-1-a1

S1

=2an-2an-1⇒an=2an-1⇒{an}是首項(xiàng)為a1=1公比為q=2的等比數(shù)列，an=2n-1，n∈N*．
（Ⅱ）設(shè)T_n=1•a₁+2•a₂+3•a₃+…+n•a_n
qT_n=1•qa₁+2•qa₂+3•qa₃+…+n•qa_n
qT_n=1•a₂+2•a₃+3•a₄+…+n•a_n+1
利用錯(cuò)位相減得：(1-q)Tn=a1+a2+a3+…+an-nan+1=a1

1-qn

1-q

-nan+1=2n-1-n•2n．
Tn=(n-1)2n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，錯(cuò)位相減法的應(yīng)用．