Question

已知函數(shù)：
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（1）先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再確定f（-x）與f（x）的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，即可得到結(jié)論；
（2）任取區(qū)間（1，+∞）上兩個實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得答案．
解答：解：（1）函數(shù)為奇函數(shù)，理由如下：
由已知函數(shù)的解析式可得函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關(guān)于原點對稱
又∵==-f（x）
∴函數(shù)為奇函數(shù)
（2）f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，理由如下：
任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞1，x₁•x₂-1＞0，
又∵f（x₁）-f（x₂）=-（）====
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)．
點評：本題以對勾函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明為載體，考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義及證明方法，熟練掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的證明步驟是解答本題的關(guān)鍵．