Question

已知函數(shù)：f(x)=

a

3

x3+(a+3)x+1．
（1）當a=-3時，求過點（1，0）曲線y=f（x）的切線方程；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間；
（3）函數(shù)是否存在極值？若有，則求出極值點；若沒有，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）當a=-3時，f（x）=-x³+1，對函數(shù)求導，由導數(shù)的幾何意義可得，曲線在（1，0）處的切線的斜率k=f′（1），可求切線方程
（2）對函數(shù)求導可得，f′（x）=ax²+（a+3），結合a的范圍可確定導數(shù)的符號，進而可判斷函數(shù)的單調區(qū)間
（3）由（2）可求函極小值，極大值的存在情況

解答：解：（1）當a=-3時，f（x）=-x³+1
對函數(shù)求導可得，f′（x）=-3x²
由導數(shù)的幾何意義可得，曲線在（1，0）處的切線的斜率k=f′（1）=-3
∴過點（1，0）曲線y=f（x）的切線方程為y=-3（x-1）即3x+y-3=0
（2）對函數(shù)求導可得，f′（x）=ax²+（a+3），
①當a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）單調遞增
②當a≤-3時，f′（x）≤0，f（x）在（-∞，+∞）單調遞減
③當-3＜a＜0，由f′（x）＞0，可得-

a+3 -a

＜x＜

a+3 a

，即f（x）在（-

a+3 -a

，+

a+3 -a

）單調遞增；
f′（x）≤0，f（x）在（-∞，-

a+3 -a

]，[

a+3 -a

+∞）單調遞減
（3）由（2）得，當-3＜a＜0，函數(shù)在x=-

a+3 -a

存在極小值，在x=

a+3 -a

存在極大值

點評：本題主要考查了導數(shù)的集合意義的應用，導數(shù)在函數(shù)的單調區(qū)間及函數(shù)的極大與極小值的求解中的應用