Question

如圖，直三棱柱中，，，D、E分別是棱、的中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)B到平面的距離；

(2)求二面角的大�。�

(3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面？若存在，確定其位置并證明結(jié)

的距離；

Answer 1

答案：
解析：

(1)　∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴CC⊥底面ABC 　　∵CC1⊥BC　　　　１分 　　∵AC⊥BC，BC⊥平面A1B1CＡ　　　　　3分 　　∵CB＝2∴點(diǎn)B到平面A1B1CＡ的距離為2　　　　4分 　　(2)分別延長AC、A1D交于點(diǎn)G，過C作CM　⊥　A1Ｇ于M，連結(jié)BM　　　　5分 　　∵BC⊥平面A1B1CＡ，∴CM為BM在平面A1B1CＡ內(nèi)的射影，BM⊥B1C 　　∴∠CMB為二面角B－A1D－A的平面角　　　　　　6分 　　在平面A1B1CＡ中，∵C1C＝CA＝2，D，D為C1C的中點(diǎn) 　　∴GG＝2，DC＝1，在直角△CDG中， 　　∴，即二面角B－A1D－A的大小為　　　　　　8分 　　(3)上存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面A1BD，其位置為AC的中點(diǎn) 證明如下：　　　　9分 　　∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴∥ 　　由(1)，知平面，∴⊥平面， 　　∴EF在平面內(nèi)的射影為 　　∵F為AC的中點(diǎn)∴∴　　　　　　11分 　　同理可證∴平面 　　∵E為定點(diǎn)，平面為定平面∴點(diǎn)F唯一　　　　　　12分 　　解二(向量法，B版本) 　　(1)同解一 　　(2)在直三棱柱中，，分別以向量、、所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由， D、E分別是棱、的中點(diǎn)，得C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，(0，0，2)，(2，0，2)， 　　(3)(0，2，2)，D(0，0，1)，E(1，0，2)　　　　　　5分 　　∴，0，1)，，2，2)，設(shè)平面的一個法向量為，則 　　　即 　　解得，，即，，2)　　　　　　6分 　　又 平面的一個法向量為(1，0，0) 　　∴＜，＞=， 　　即二面角的大小為　　　　　　8分 　　(3)由F是線段AC的中點(diǎn)，得F(0，1，0)，則=(1，，2)， 　　∵，，2)，＝ 　　∴∥，又，，2)為平面的一個法向量， 　　所以⊥平面，即EF⊥平面．　　　　　　12