Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x²-2ax-3．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）在[-2，0]上的最小值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當a=1時f′（x）=x²-x-2=（x+1）（x-2）令f′（x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．可以判斷f（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)．在（-1，2）上為減函數(shù)．在（2，+∝）上為增函數(shù)，f（-2）=--2+4-3，f（0）=-3，有f（-2）＜f（0）．
（Ⅱ）f′（x）=x²+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）令f′（x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0．-a＞2時，即a＜-2，不等式①的解為x＜2或x＞-a，當-a＜2時，即a＞-2，不等式①的解為x＜-a或x＞2，當-a=2時，即a=-2，不等式①的解為x∈R，且x≠2，由f（x）在x=2處連續(xù)所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是實數(shù)集R．根據(jù)導數(shù)的意義可以判斷函數(shù)的單調(diào)性．
解答：解：
（Ⅰ）a=1時，函數(shù)解析式為其定義域為R．
f′（x）=x²-x-2=（x+1）（x-2）
令f′（x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．
同樣，令f′（x）＜0，得（x+1）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2．
所以f（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)．在（-1，2）上為減函數(shù)．在（2，+∝）上為增函數(shù)．
故f（x）在[-2，0]上的最小值是f（-2）與f（0）中的較小者．
f（-2）=--2+4-3，f（0）=-3，有f（-2）＜f（0）．
所以f（x）在[-2，0]上的最小值為f（-2）=-．
（Ⅱ）f′（x）=x²+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
令f′（x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0．                         ①
當-a＞2時，即a＜-2，不等式①的解為x＜2或x＞-a，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，2）和（-a，+∝）；
當-a＜2時，即a＞-2，不等式①的解為x＜-a或x＞2，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∝，-a）和（2，+∞）；
當-a=2時，即a=-2，不等式①的解為x∈R，且x≠2，由f（x）在x=2處連續(xù)所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是實數(shù)集R．
綜上：
（1）當a＜-2時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，2）和（-a，+∞）；
（2）當a＞-2時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-a）和（2，+∞）；
（3）當a=-2時，f（x）在實數(shù)集R上的單調(diào)遞增．
點評：本小題主要考查導數(shù)的計算，應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，不等式的證明等，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力．