已知：a，h∈R+，且a≠b，求證：a3＋b3＞a2b＋ab2．

 

答案：
解析：

證法1：(aa3＋b3)-(aa2b＋aab2)

　　=(aa＋b)(aa2- aab＋b2)-aab(aa＋b)

　　=(aa＋b)(aa2-2aab＋b2)

　　=(aa＋b)(aa-b)2．

　　由aa，b∈R+，知aa＋b＞0，又aa≠b，則(aa-b)2＞0，進(jìn)而(aa＋b)(aa-b)2＞0，即(aa3＋b3) - (aa2b＋aab2)＞0，所以aa3＋b3＞aa2b+aab2．

證法2：

　　欲證 aa3＋b3＞aa2b＋aab2，

　　即證 (aa＋b)(aa2-aab＋b2)＞aab(aa＋b)，-

　　因為 aa＋b＞0，

　　故只需證 aa2-aab＋b2＞aab，

　　即證 aa2-2aab＋b2＞0，

　　即證 (aa-b)2＞0，

　　因為 aa≠b，

　　所以 (aa-b)2＞0成立，お

　　所以 aa3＋b3＞aa2b＋aab2成立．

證法3：

<

　　由aa≠b，知(aa-b)2＞0，即aa2-2aab＋b2＞0，則aa2-aab＋b2＞aab，又aa＋b＞0，則(aa＋b)·(aa2-aab＋b2)＞a<span class=msoIns>ab(aa＋b)，即aa3＋b3＞aa2b＋aab2．

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②當(dāng)定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．
則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．
（1）證明：[0，1]是函數(shù)y=f（x）=x2的一個“和諧區(qū)間”．
（2）求證：函數(shù)y=g(x)=3-
5
x
不存在“和諧區(qū)間”．
（3）已知：函數(shù)y=h(x)=
(a2+a)x-1
a2x
（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當(dāng)a變化時，求出n-m的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
s
=（x+1，y），
t
=（y，x-1），（x，y∈R）滿足|
s
|+|
t
|=2
2
，已知定點A（1，0），動點P（x，y）
（1）求動點P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過原點O作直線l交軌跡C于兩點M，N，若，試求△MAN的面積．
（3）過原點O作直線l與直線x=2交于D點，過點A作OD的垂線與以O(shè)D為直徑的圓交于點G，H（不妨設(shè)點G在直線OD上方），試判斷線段OG的長度是否為定值？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos2ωx-sin2ωx，sinωx)，
b
=(
3
，2cosωx)，設(shè)函數(shù)f(x)=
a
•
b
(x∈R)的圖象關(guān)于直線x=
π
2
對稱，其中ω為常數(shù)，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若將y=f（x）圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="rytrwks" class="MathJye">
1
6
，再將所得圖象向右平移
π
3
個單位，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=h（x）的圖象，若關(guān)于x的方程h（x）+k=0在區(qū)間[0，
π
2
]上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

已知：a，h∈R+，且a≠b，求證：a3＋b3＞a2b＋ab2．

 

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