Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，數(shù)列{b_n}的前n項和 為S_n，T_n=S_2n-S_n．
（Ⅰ）求證數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：T_n+1＞T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）將b_n=a_n-1代入2a_n=1+a_na_n+1，可得b_n的遞推關系式，整理變形可得 ，由等差數(shù)列的定義可得 為等差數(shù)列，故可求其通項公式，進而求出b_n．
（2）結合（1）中的結論，寫出T_n+1-T_n的表達式，利用放縮法證明該差大于0即可．
解答：解：（1）由b_n=a_n-1，得a_n=b_n+1，代入2a_n=1+a_na_n+1，
得2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1），
整理，得b_nb_n+1+b_n+1-b_n=0，
從而有，∵b₁=a₁-1=2-1=1，
∴是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，∴，即．（5分）
（2）∵，∴，，，
（∵2n+1＜2n+2）∴T_n+1＞T_n．（12分）
點評：本題考查了數(shù)列和不等式的綜合應用，應用了構造法、放縮法、疊加法等數(shù)學思想方法，難度較大．
若根據(jù)2a_n=1+a_na_n+1去求a_n 的通項，繼而求b_n，則難度很大．而應用了代入構造，避免了繁瑣的中間計算過程．