Question

2．已知|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{BC}$|=1，∠ABC=60°，P是線段AB上一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$的最小值為（　�。�

• A． -3
• B． 3
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 可畫(huà)出圖形，并連接AC，并得出AC⊥AB，而$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{CP}||\overrightarrow{AB}|cos＜\overrightarrow{CP}，\overrightarrow{AB}＞$，由圖形可看出當(dāng)P在線段AB上（包括B點(diǎn)，不包括A點(diǎn)）時(shí)，向量$\overrightarrow{CP}，\overrightarrow{AB}$的夾角都是銳角，只有P點(diǎn)和A點(diǎn)重合時(shí)，夾角變?yōu)橹苯�，從而得出�?shù)量積$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AB}$的最小值．

解答 解：如圖，連接AC，根據(jù)條件知，AC⊥AB；
$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{CP}||\overrightarrow{AB}|cos＜\overrightarrow{CP}，\overrightarrow{AB}＞$；
由圖看出，P從B向A移動(dòng)時(shí)，$\overrightarrow{CP}$與$\overrightarrow{AB}$的夾角逐漸增大，當(dāng)P與A重合時(shí)，夾角增大到$\frac{π}{2}$；
∴P與A重合時(shí)，$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AB}$最小，最小值為0．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)形結(jié)合解題的方法，向量數(shù)量積的計(jì)算公式，向量垂直的充要條件，知道30°所對(duì)的直角邊為斜邊的一半．