Question

（2011•孝感模擬）如圖，圖形無(wú)限向內(nèi)延續(xù)，最外面的正方形的邊長(zhǎng)等于1．從外到內(nèi)，第i個(gè)正方形與其內(nèi)切圓之間的深黑色圖形面積記為S_i（i=1，2，…）．
則（1）S₂=

1

2

-

π

8

；
（2）深黑色圖形的面積的總和S為

2-

π

2

．（以上結(jié)果不作近似計(jì)算）

Answer 1

分析：所有的正方形構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列；所有的內(nèi)切圓構(gòu)成以

π

4

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，故S_i構(gòu)成以1-

π

4

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，從而問(wèn)題可解．

解答：解：由題意知，所有的正方形構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列；
所有的內(nèi)切圓構(gòu)成以

π

4

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴S_i構(gòu)成以1-

π

4

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
（1）S₂=

1

2

×（1-

π

4

）=

1

2

-

π

8

（2）深黑色圖形的面積的總和為

(1- π 4 )[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

，當(dāng)n→+∞時(shí)，S=2-

π

2

故答案為：

1

2

-

π

8

；2-

π

2

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查等比數(shù)列模型的確定，解題的關(guān)鍵是確定S_i構(gòu)成以1-

π

4

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列