Question

設a＞0，函數f（x）=x²+a|lnx-1|．
（Ⅰ）當a=2時，求函數f（x）的單調增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[1，+∞）時，不等式f（x）≥a恒成立，實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知當0＜x≤e時，，f（x）在（1，e]內單調遞增．當x≥e時，恒成立，故f（x）在[e，+∞）內單調遞增．由此可知f（x）的單調增區(qū)間．
（2）當x≥e時，f（x）=x²+alnx-a，（x≥e），f（x）在[e，+∞）上增函數．當1≤x＜e時，f（x）=x²-alnx+a，（1≤x＜e）由此可求出答案．
解答：解：（1）當a=2時，f（x）=x²+2|lnx-1|
=（2分）
當0＜x≤e時，，
f（x）在（1，e]內單調遞增；
當x≥e時，恒成立，
故f（x）在[e，+∞）內單調遞增；
∴f（x）的單調增區(qū)間為（1，+∞）．（6分）
（2）①當x≥e時，f（x）=x²+alnx-a，
（x≥e）∵a＞0，
∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[e，+∞）上增函數．
故當x=e時，y_min=f（e）=e²．（8分）
②當1≤x＜e時，f（x）=x²-alnx+a，
（1≤x＜e）
當，即a≥2e²時，
f′（x）在x∈（1，e）進為負數，
所以f（x）在區(qū)間[1，e]上為減函數，
故當x=e時，y_min=f（e）=e²．（14分）
所以函數y=f（x）的最小值為
．
由條件得此時0＜a≤2；
或，
此時2＜a≤2e；或，此時無解．
綜上，0＜a≤2e．（16分）
點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．