已知定義域?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090717/20090717144308001.gif' width=33>的函數(shù)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：

[1] 對(duì)任意的，總有；

[2] ；

[3] 若，，且，則有成立，

并且稱為“友誼函數(shù)”，請(qǐng)解答下列各題：

(1)若已知為“友誼函數(shù)”，求的值；

(2)函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由.

(3)已知為“友誼函數(shù)”，假定存在，使得且，

求證：.

解析：（1）取得，又由，得         

（2）顯然在上滿足[1] ；[2] .若，，且，則有

 故滿足條件[1]、[2]、[3]，所以為友誼函數(shù).

(3)由 [3]知任給其中，且有，不妨設(shè)

則必有：所以：

所以：.依題意必有,

下面用反證法證明：假設(shè)，則有或

(1)  若，則，這與矛盾；

(2)   若，則，這與矛盾；

     故由上述（1）、（2）證明知假設(shè)不成立，則必有，證畢.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義：已知函數(shù)f（x）與g（x），若存在一條直線y=kx+b，使得對(duì)公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)均滿足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等號(hào)在公共點(diǎn)處成立，則稱直線y=kx+b為曲線f（x）與g（x）的“左同旁切線”．已知f（x）=Inx，g（x）=1-
1
x

（I）證明：直線y=x-l是f（x）與g（x）的“左同旁切線”；
（Ⅱ）設(shè)P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是函數(shù) f（x）圖象上任意兩點(diǎn)，且0＜x1＜x2，若存在實(shí)數(shù)x3＞0，使得f′（x3）=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
．請(qǐng)結(jié)合（I）中的結(jié)論證明x1＜x3＜x2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f（x）的定義域與值域都為同一區(qū)間D，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“同勢(shì)”函數(shù)．已知函數(shù)f（x）=x2-2x+1是區(qū)間D上的“同勢(shì)”函數(shù)，則此區(qū)間可以是
[0，
3+
5
2
]或[0，1]或[
3+
5
2
，+∞)等
[0，
3+
5
2
]或[0，1]或[
3+
5
2
，+∞)等
．（只要寫出一個(gè)你認(rèn)為正確的區(qū)間即可）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義：已知函數(shù)f（x）與g（x），若存在一條直線y=kx+b，使得對(duì)公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)均滿足f（x）≤g（x）≤kx+b恒成立，其中等號(hào)在公共點(diǎn)處成立，則稱直線y=kx+b為曲線f（x）與g（x）的“左同旁切線”．已知f（x）=lnx，g（x）=1-
1
x
．
（1）試探求f（x）與g（x）是否存在“左同旁切線”，若存在，請(qǐng)求出左同旁切線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）設(shè)P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是函數(shù)f（x）圖象上任意兩點(diǎn)，0＜x1＜x2，且存在實(shí)數(shù)x3＞0，使得f（x3）=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
，證明：x1＜x3＜x2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年河南省豫東、豫北十所名校高三測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

定義：已知函數(shù)f（x）與g（x），若存在一條直線y=kx +b，使得對(duì)公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)均滿足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等號(hào)在公共點(diǎn)處成立，則稱直線y=kx +b為曲線f（x）與g（x）的“左同旁切線”．已知

    （I）證明：直線y=x-l是f（x）與g（x）的“左同旁切線”；

    （Ⅱ）設(shè)P（是函數(shù) f（x）圖象上任意兩點(diǎn)，且0<x1<x2，若存在實(shí)數(shù)x3>0，使得．請(qǐng)結(jié)合（I）中的結(jié)論證明：

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

定義：已知函數(shù)f（x）與g（x），若存在一條直線y=kx+b，使得對(duì)公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)均滿足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等號(hào)在公共點(diǎn)處成立，則稱直線y=kx+b為曲線f（x）與g（x）的“左同旁切線”．已知f（x）=Inx，g（x）=1-數(shù)學(xué)公式
（I）證明：直線y=x-l是f（x）與g（x）的“左同旁切線”；
（Ⅱ）設(shè)P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是函數(shù) f（x）圖象上任意兩點(diǎn)，且0＜x1＜x2，若存在實(shí)數(shù)x3＞0，使得f′（x3）=數(shù)學(xué)公式．請(qǐng)結(jié)合（I）中的結(jié)論證明x1＜x3＜x2．

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