Question

8．小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了12元，然后發(fā)給朋友A，如果A猜中，A將獲得紅包里的所有金額；如果A未猜中，A將當前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友B，如果B猜中，A、B平分紅包里的金額；如果B未猜中，B將當前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友C，如果C猜中，A、B和C平分紅包里的金額；如果C未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)A、B、C猜中的概率分別為$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，且A、B、C是否猜中互不影響．
（Ⅰ）求A恰好獲得4元的概率；
（Ⅱ）設(shè)A獲得的金額為X元，求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算即可；
（2）由題意，X的可能取值為0，4，6，12，計算對應(yīng)的概率值，寫出X的分布列與數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）A恰好獲得4元的概率為$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$；…（2分）
（2）X的可能取值為0，4，6，12，
則P（X=4）=$\frac{1}{9}$，P（X=0）=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，
P（X=6）=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$，P（X=12）=$\frac{1}{3}$，…（5分）
所以X的分布列為：

X	0	4	6	12
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

數(shù)學(xué)期望為EX=0×$\frac{2}{9}$+4×$\frac{1}{9}$+6×$\frac{1}{3}$+12×$\frac{1}{3}$=$\frac{58}{9}$．…（12分）

點評 本題考查了相互獨立事件的概率計算以及離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望問題，是基礎(chǔ)題．