已知α,β,α∈(-
π
2
,
π
2
),β∈(0,π)
,且等式:sin(3π-α)=
2
cos(
π
2
-β)
,
3
cos(-α)=-
2
cos(π+β)
同時(shí)成立.
(Ⅰ)求α,β;
(Ⅱ)若γ滿足:
1+sinγ
1-sinγ
-
1-sinγ
1+sinγ
=
tanαtanγ
sinβ
,求γ的范圍.
分析:(Ⅰ)首先由誘導(dǎo)公式簡(jiǎn)化已知條件并列方程組,再利用公式sin2β+cos2β=1解方程組,最后根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求出滿足要求的α、β.
(Ⅱ)先把
1+sinγ
1-sinγ
分子分母同時(shí)乘以1+sinγ,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn),類似化簡(jiǎn)
1-sinγ
1+sinγ
,等式的右邊代入α,β的值,等式推出cosγ的范圍,即可求解.
解答:解:(Ⅰ)由條件得sin(3π-α)=
2
cos(
π
2
-β)
3
cos(-α)=-
2
cos(π+β)

sinα=
2
sinβ…①
3
cosα=
2
cosβ…②
,
2+②2得sin2α+3cos2α=2,∴cos2α=
1
2
即cosα=±
2
2

α∈(-
π
2
,
π
2
)

∴α=
π
4

將α=
π
4
代入②得cosβ=
3
2
.又β∈(0,π),
∴β=
π
6
,
綜上可知α=
π
4
,β=
π
6

(Ⅱ)
1+sinγ
1-sinγ
=
(1+sinα)2
(1-sinα)(1+sinα)
=
(1+sinγ)2
cos2γ
,
1-sinγ
1+sinγ
=
(1-sinγ)2
(1-sinγ)(1+sinγ)
=
(1-sinγ)2
cos2γ

1+sinγ
1-sinγ
-
1-sinγ
1+sinγ
=
1+sinγ
|cosγ|
-
1-sinγ
|cosγ|
=2
sinγ
|cosγ|

又∵α=
π
4
,β=
π
6

tanαtanγ
sinβ
=2tanγ
,
1+sinγ
1-sinγ
-
1-sinγ
1+sinγ
=
tanαtanγ
sinβ

∴2
sinγ
|cosγ|
=2tanγ,
∴cosγ>0.
γ∈(2kπ-
π
2
,2kπ+
π
2
)
,k∈Z.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查誘導(dǎo)公式、同角正余弦關(guān)系式及特殊角三角函數(shù)值.考查了三角函數(shù)恒等式的證明及同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一點(diǎn),則(
.
AP
+
.
BD
)•(
.
PB
+
.
PD
)的最大值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn),以提高下崗人員的再就業(yè)能力.每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn),已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%,參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%.假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的,且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響.
(Ⅰ)任選1名下崗人員,求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率;
(Ⅱ)任選3名下崗人員,記ξ為3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù),求ξ的分布列和期望.
 ξ  0  1  2  3
 P  0.021  0.027  0.243  0.729

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,某地為了開(kāi)發(fā)旅游資源,欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)P和居民區(qū)O的公路,點(diǎn)P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ(0°<θ<90°),且sinθ=
2
5
,點(diǎn)P到平面α的距離PH=0.4(km).沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用、從點(diǎn)O到山腳修路的造價(jià)為a萬(wàn)元/km,原有公路改建費(fèi)用為
a
2
萬(wàn)元/km、當(dāng)山坡上公路長(zhǎng)度為lkm(1≤l≤2)時(shí),其造價(jià)為(l2+1)a萬(wàn)元、已知OA⊥AB,PB⊥AB,AB=1.5(km),OA=
3
(km)

(Ⅰ)在AB上求一點(diǎn)D,使沿折線PDAO修建公路的總造價(jià)最。
(Ⅱ)對(duì)于(I)中得到的點(diǎn)D,在DA上求一點(diǎn)E,使沿折線PDEO修建公路的總造價(jià)最。
(Ⅲ)在AB上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)D′,E′,使沿折線PD′E′O修建公路的總造價(jià)小于(Ⅱ)中得到的最小總造價(jià),證明你的結(jié)論、
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A、(-∞,-
3
]∪[
3
,+∞)
B、[-
3
,
3
]
C、(-∞,-
3
)∪(
3
,+∞)
D、(-
3
,
3
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x2+4xx≥0
4x-x2x<0.
若f(2-a2)>f(a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )
A、(-∞,-1)∪(2,+∞)
B、(-1,2)
C、(-2,1)
D、(-∞,-2)∪(1,+∞)

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