Question

（2013•東城區(qū)二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，原點到過A（a，0），B（0，-b）兩點的直線的距離是

4 5

5

．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線y=kx+1（k≠0）交橢圓于不同的兩點E，F(xiàn)，且E，F(xiàn)都在以B為圓心的圓上，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直線AB的方程為：bx-ay-ab=0，利用原點到過A（a，0），B（0，-b）兩點的直線的距離是

4 5

5

，可得

|ab|

b2+a2

=

4 5

5

，利用橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，可得

a2-b2

a2

=

3

4

，從而可求b²=4，
a²=16，故可求橢圓的方程；
（2）由題意，B（0，-2），設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由E，F(xiàn)在圓上，得x₁²+（y₁+2）²=x₂²+（y₂+2）²，由E，F(xiàn)在直線y=kx+1得y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，代入可得（1+k²）（x₁+x₂）（x₁-x₂）+6k（x₁-x₂）=0，從而可得x₁+x₂=-

6k

1+k2

；將y=kx+1代入

x2

16

+

y2

4

=1，得（1+4k²）x²+8kx-12=0，由根與系數(shù)的關(guān)系，可得x₁+x₂=-

8k

1+4k2

，從而可求得k的值．

解答：解：（1）直線AB的方程為：bx-ay-ab=0
∵原點到過A（a，0），B（0，-b）兩點的直線的距離是

4 5

5

．
∴

|ab|

b2+a2

=

4 5

5

∴a2b2=

16

5

(b2+a2)①
∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，
∴

a2-b2

a2

=

3

4

∴a²=4b²②
②代入①，可得b²=4，
∴a²=16
∴橢圓的方程為

x2

16

+

y2

4

=1；
（2）由題意，B（0，-2）
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由E，F(xiàn)在圓上，得x₁²+（y₁+2）²=x₂²+（y₂+2）²…③，
由E，F(xiàn)在直線y=kx+1得y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，
代入③式，可得（1+k²）（x₁+x₂）（x₁-x₂）+6k（x₁-x₂）=0，
因為E，F(xiàn)為直線上不同兩點，所以x₁≠x₂，所以（1+k²）（x₁+x₂）+6k=0，
即x₁+x₂=-

6k

1+k2

④
又由E，F(xiàn)在橢圓上，將y=kx+1代入

x2

16

+

y2

4

=1，得（1+4k²）x²+8kx-12=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系，x₁+x₂=-

8k

1+4k2

…⑤，
將④⑤兩式聯(lián)立求解得k=0（舍）或k=±

2

4

，
故k═±

2

4

．

點評：本題考查的重點是橢圓的方程，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法，利用根與系數(shù)的關(guān)系，建立等式關(guān)系，屬于中檔題．