Question

已知函數(shù)，且．
（1）求m的值；
（2）判定f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

解：（1）因為，所以，所以m=1．
（2）因為f（x）的定義域為{x|x≠0}，又，
所以f（x）是奇函數(shù)．
（3）任取x₁＞x₂＞0，則，
因為x₁＞x₂＞0，所以，所以f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)．
分析：（1）欲求m的值，只須根據(jù)f（4）=的值，當(dāng)x=4時代入f（x）解一個指數(shù)方程即可；
（2）求出函數(shù)的定義域x|x≠0}，利用奇偶性的定義判斷f（x）與f（-x）的關(guān)系，即可得到答案；
（3）利用單調(diào)性的定義證明即可．任取0＜x₁＜x₂，只要證明f（x₁）＞f（x₂），即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷、函數(shù)奇偶性的判斷，與證明及指數(shù)方程的解法．在判定函數(shù)奇偶性時，一定注意函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，屬于基礎(chǔ)題．