Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x，x≤1}\\{lo{g}_{0.5}x，x＞1}\end{array}\right.$若對(duì)于任意x∈R，不等式f（x）≤$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，1]∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 任意x∈R，不等式f（x）≤$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1恒成立?$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1≥f（x）_max（x∈R），由二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，解不等式$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1≥$\frac{1}{4}$，即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x，x≤1}\\{lo{g}_{0.5}x，x＞1}\end{array}\right.$，
∴對(duì)于任意x∈R，不等式f（x）≤$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1恒成立?$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1≥f（x）_max（x∈R），
又當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取到最大值，即f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1≥$\frac{1}{4}$，整理得：t²-4t+3≥0，
解得：t≥3或t≤1．
故答案為：（-∞，1]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，求得f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$是關(guān)鍵，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．