Question

深圳市某校中學生籃球隊假期集訓，集訓前共有6個籃球，其中3個是新球(即沒有用過的球)，3個是舊球(即至少用過一次的球)．每次訓練，都從中任意取出2個球，用完后放回．
(1)設(shè)第一次訓練時取到的新球個數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望；
(2)求第二次訓練時恰好取到一個新球的概率．

Answer 1

（1）ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P

 
ξ的數(shù)學期望為E(ξ)＝1
（2）

(1)ξ的所有可能取值為0,1,2．
設(shè)“第一次訓練時取到i個新球(即ξ＝i)”為事件A_i(i＝0,1,2)．
∵集訓前共有6個籃球，其中3個是新球，3個是舊球，
∴P(A₀)＝P(ξ＝0)＝＝，
P(A₁)＝P(ξ＝1)＝＝，
P(A₂)＝P(ξ＝2)＝＝．
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P

ξ的數(shù)學期望為E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1．
(2)設(shè)“從6個球中任意取出2個球，恰好取到一個新球”為事件B．
則“第二次訓練時恰好取到一個新球”就是事件A₀B＋A₁B＋A₂B．而事件A₀B，A₁B，A₂B互斥，
∴P(A₀B＋A₁B＋A₂B)＝P(A₀B)＋P(A₁B)＋P(A₂B)．
由條件概率公式，得
P(A₀B)＝P(A₀)P(B|A₀)＝×＝×＝，
P(A₁B)＝P(A₁)P(B|A₁)＝×＝×＝，
P(A₂B)＝P(A₂)P(B|A₂)＝×＝×＝，
∴第二次訓練時恰好取到一個新球的概率為
P(A₀B＋A₁B＋A₂B)＝＋＋＝．