Question

如圖，五面體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，AB=6，AD=4．頂部線段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6

2

，EF=2，二面角F-BC-A的余弦值為

17

17

，
（1）在線段BC上是否存在一點(diǎn)N，使BC⊥平面EFN；
（2）求平面EFB和平面CFB所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）存在，點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，使BC⊥平面EFN．由已知得EF∥AB，MN∥AB，從而EF∥MN，E，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共面，由此能證明BC⊥平面EFNM．
（2）在平面EFNM內(nèi)，過(guò)點(diǎn)F作MN的垂線，垂足為H，則二面角F-BC-A的平面角為∠FNH，過(guò)H作邊AB，CD的垂線，垂足為S，Q，連接FN，F(xiàn)S，F(xiàn)Q，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，以HS，HN，HF方向?yàn)閤，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出二面角B-EF-C的余弦值．

解答： 解：（1）存在，點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，使BC⊥平面EFN．
證明如下：∵EF∥平面ABCD，且EF?平面EFAB，
又∵平面ABCD∩平面EFAB=AB，
∴EF∥AB（線面平行的性質(zhì)定理）．
又M，N是平行四形ABCD兩邊AD，BC的中點(diǎn)，
∴MN∥AB，∴EF∥MN，∴E，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共面．
∵FB=FC，∴BC⊥FN，又∴BC⊥MN，
且

FN?平面EFNM MN?平面EFNM FN∩MN=N

，∴BC⊥平面EFNM．…（6分）
（2）在平面EFNM內(nèi)，過(guò)點(diǎn)F作MN的垂線，垂足為H，
則由（1）知：BC⊥平面EFNM，則平面ABCD⊥平面EFNM，
所以FH⊥平面ABCD，
又因?yàn)镕N⊥BC，HN⊥BC，則二面角F-BC-A的平面角為∠FNH，
在Rt△FNB和Rt△FNH中，F(xiàn)N=

FB2-BN2

=

68

，
HN=FN•cos∠FNH=

68

•

17

17

=2．FH=8，
過(guò)H作邊AB，CD的垂線，垂足為S，Q，連接FN，F(xiàn)S，F(xiàn)Q，
以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，以HS，HN，HF方向?yàn)閤，y，z軸正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則F（0，0，8），S（2，0，0），N（0，2，0），B（2，2，0），
則

SF

=（-2，0，8），

SB

=（0，2，0），
設(shè)平面ABEF的一個(gè)法向量為

n1

=（x，y，z），
則

SF • n1 =-2x+8z=0 SB • n1 =2y=0

，取z=1，得

n1

=（4，0，1），
同理可求得設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為

n2

=（0，4，1），
于是有：cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

16+1 • 16+1

=

1

17

，
∴＜

n

1，

n

2＞為銳角，
設(shè)二面角B-EF-C的平面角為θ，則cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

1

17

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．