Question

某項(xiàng)新技術(shù)進(jìn)入試用階段前必須對(duì)其中三項(xiàng)不同指標(biāo)甲、乙、丙進(jìn)行通過(guò)量化檢測(cè)．假設(shè)該項(xiàng)新技術(shù)的指標(biāo)甲、乙、丙獨(dú)立通過(guò)檢測(cè)合格的概率分別為

2

3

，

2

3

，

1

2

，指標(biāo)甲、乙、丙檢測(cè)合格分別記4分、2分、4分，若某項(xiàng)指標(biāo)不合格，則該項(xiàng)指標(biāo)記0分，各項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)結(jié)果互不影響．
（1）求該項(xiàng)技術(shù)量化得分不低于8分的概率；
（2）記該技術(shù)的蘭個(gè)指標(biāo)中被檢測(cè)合格的指標(biāo)個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）設(shè)該項(xiàng)新技術(shù)的三項(xiàng)不同指標(biāo)甲、乙、丙獨(dú)立通過(guò)量化檢測(cè)合格分別為事件A，B，C．“該項(xiàng)技術(shù)量化得分不低于8分”表示為ABC+A

.

B

C，又ABC與A

.

B

C為互斥事件，且A，B，C相互獨(dú)立，即可得出．
（II）該技術(shù)的三個(gè)指標(biāo)中被檢測(cè)合格的指標(biāo)個(gè)數(shù)隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=P(

.

A

.

B

.

C

)=P（

.

A

）•P(

.

B

)•P(

.

C

)；P（ξ=1）=P(A

.

B

.

C

)+P(

.

A

B

.

C

)+P(

.

A

.

B

C)；
P（ξ=3）=p（ABC）=P（A）P（B）P（C）；P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）．

解答：解：（1）設(shè)該項(xiàng)新技術(shù)的三項(xiàng)不同指標(biāo)甲、乙、丙獨(dú)立通過(guò)量化檢測(cè)合格分別為事件A，B，C．“該項(xiàng)技術(shù)量化得分不低于8分”表示為ABC+A

.

B

C，又ABC與A

.

B

C為互斥事件，且A，B，C相互獨(dú)立．
∴P（ABC+A

.

B

C）=P（ABC）+P（A

.

B

C）=P（A）P（B）P（C）+P（A）P(

.

B

)P（C）
=

2

3

×

2

3

×

1

2

+

2

3

×

1

3

×

1

2

=

1

3

．
（II）該技術(shù)的三個(gè)指標(biāo)中被檢測(cè)合格的指標(biāo)個(gè)數(shù)隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=P(

.

A

.

B

.

C

)=P（

.

A

）•P(

.

B

)•P(

.

C

)=

1

3

×

1

3

×

1

2

=

1

18

．
P（ξ=1）=P(A

.

B

.

C

)+P(

.

A

B

.

C

)+P(

.

A

.

B

C)=

2

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

×

1

2

=

5

18

．
P（ξ=3）=p（ABC）=P（A）P（B）P（C）=

2

3

×

2

3

×

1

2

=

4

18

，
∴P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=1-

1

18

-

5

18

-

4

18

=

8

18

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 18	5 18	8 18	4 18

∴Eξ=0+1×

5

18

+2×

8

18

+3×

4

18

=

11

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望、相互獨(dú)立和互斥事件的概率計(jì)算公式，屬于難題．