Question

對于二項式（1-x）¹⁹⁹⁹，有下列四個命題：
①展開式中T₁₀₀₀=-C₁₉₉₉¹⁰⁰⁰x⁹⁹⁹；  
 ②展開式中非常數(shù)項系數(shù)和是1；
③展開式中系數(shù)最大的項是第1000項和第1001項；
④當x=2000時，（1-x）¹⁹⁹⁹除以2000的余數(shù)是1．其中正確命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用二項式項的公式T_r+1=C_n^ra^n-rb^r，及二項式系數(shù)的性質對四個命題逐一判斷，判斷出正確命題．
解答：解：對于二項式（1-x）¹⁹⁹⁹，二項式項的公式T_r+1=C_n^r1^n-r（-1）^r，
對于命題①，T₁₀₀₀=C₁₉₉₉⁹⁹⁹1¹⁰⁰⁰（-x）⁹⁹⁹，=-C₁₉₉₉⁹⁹⁹x⁹⁹⁹，故此命題不正確；
對于命題②展開式中非常數(shù)項系數(shù)和是-1，故命題不正確；
對于命題③展開式中系數(shù)最大的項是第1000項和第1001項不正確，因為相鄰二項一正一負，故不可能同時是系數(shù)最大項；
對于命題當x=2000時，（1-x）¹⁹⁹⁹除以2000的余數(shù)是1是正確的，因為展開式中不含有2000的項是1，故當x=2000時，（1-x）¹⁹⁹⁹除以2000的余數(shù)是1是正確的．
故答案為：④．
點評：本題考查二項式系數(shù)的性質，解題的關鍵是熟練掌握二項式系數(shù)的性質以及二項式展開式的項的公式，由這些知識對四個命題進行判斷，本題考查了運用知識進行推理論證的能力．