Question

已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為S_n，S₄=2S₂+4．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若對任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈成立，求a₁的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式能求出公差d=1．
（Ⅱ）由S_n≥S₈成立，得到sn=

1

2

n2+(a1-

1

2

)n=

1

2

[n-(

1

2

-a1)]2-

1

2

(

1

2

-a1)2在n=8時取最小值，由此能求出a₁的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為S_n，S₄=2S₂+4，
∴4a1+

3×4

2

d=2(2a1+d)+4，
解得公差d=1．…（5分）
（Ⅱ）由S_n≥S₈成立，
有sn=

1

2

n2+(a1-

1

2

)n=

1

2

[n-(

1

2

-a1)]2-

1

2

(

1

2

-a1)2在n=8時取最小值，…（8分）
∵n∈N^*，∴

15

2

≤

1

2

-a1≤

17

2

，即：-8≤a₁≤-7，
∴a₁的取值范圍是[-8，-7]．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．