Question

已知G是三角形ABC的重心，過(guò)G的直線分別交直線AB，AC于M，N兩點(diǎn)，

AB

=m

AM

，

AC

=n

AN

，（m，n都是正數(shù)），

1

m

+

2

n

的最小值是（　�。�

• A、2
• B、3
• C、1
• D、1+

  2 2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：由于M，N，G三點(diǎn)共線，利用向量共線定理可得：存在實(shí)數(shù)λ使得

AG

=λ

AM

+(1-λ)

AN

，利用

AB

=m

AM

，

AC

=n

AN

，（m，n都是正數(shù)），可得

AG

=

λ

m

AB

+

1-λ

n

AC

．由于G是三角形ABC的重心，可得

AG

=

1

3

AB

+

1

3

AC

．根據(jù)平面向量基本定理可得

λ m = 1 3 1-λ n = 1 3

，化為m+n=3．再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：如圖所示，
設(shè)D是BC的中點(diǎn)．
∵M(jìn)，N，G三點(diǎn)共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ使得

AG

=λ

AM

+(1-λ)

AN

，
∵

AB

=m

AM

，

AC

=n

AN

，（m，n都是正數(shù)），
∴

AG

=

λ

m

AB

+

1-λ

n

AC

，
∵G是三角形ABC的重心，
∴

AG

=

2

3

AD

=

2

3

×

1

2

(

AB

+

AC

)=

1

3

AB

+

1

3

AC

．
∴

λ m = 1 3 1-λ n = 1 3

，化為m+n=3．
又m，n為正數(shù)，
∴

1

m

+

2

n

=

1

3

(m+n)(

1

m

+

2

n

)=

1

3

(3+

n

m

+

2m

n

)≥

1

3

(3+2

n m • 2m n

)=1+

2 2

3

，當(dāng)且僅當(dāng)n=

2

m=3(

2

-1)時(shí)取等號(hào)．
∴

1

m

+

2

n

的最小值是1+

2 2

3

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線定理、三角形的重心定理、向量的平行四邊形法則、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．