Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-10x，（x∈R），問(wèn)是否存在自然數(shù)m，使得方程f(x)+

37

x

=0在區(qū)間（m，m+1）內(nèi)有且僅有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：依題意，將f（x）+

37

x

=0在區(qū)間（m，m+1）內(nèi)有且僅有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為2x³-10x²+37=0在（m，m+1）內(nèi)有且僅有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可分析得方程h（x）=0在（3，

10

3

），（

10

3

，4）內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根，而在（0，3），（4，+∞）內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，從而可得答案．

解答：解：依題意，問(wèn)題等價(jià)于方程2x³-10x²+37=0在（m，m+1）內(nèi)有且僅有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
令h（x）=2x³-10x²+37，
h′（x）=6x²-20x=6x（x-

10

3

），
當(dāng)x∈（0，

10

3

）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在區(qū)間（0，

10

3

）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（

10

3

，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在區(qū)間（

10

3

，+∞）上單調(diào)遞增；…4分
由于h（3）=1＞0，h（

10

3

）=-

1

27

＜0，h（4）=5＞0，…7分
所以方程h（x）=0在（3，

10

3

），（

10

3

，4）內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根，而在（0，3），（4，+∞）內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根…10分
所以存在唯一自然數(shù)m=3使得方程f（x）+

37

x

=0在區(qū)間（m，m+1）內(nèi)有且僅有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解．…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類(lèi)討論思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．