精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥面ABCD,四邊形ABCD是菱形,AC=6,BD=6
3
,E是PB上任意一點(diǎn)
(1)求證:AC⊥DE;
(2)當(dāng)△AEC面積的最小值是9時,求PD的長
(3)在(2)的條件下,在線段BC上是否存在點(diǎn)G,使EG與面PAB所成角的正切值為2?若存在,求出BG的值,若不存在,說明理由.
分析:(1)根據(jù)幾何體的線線、線面關(guān)系利用線面垂直的判定定理得到AC⊥面PBD,進(jìn)而由線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直.
(2)設(shè)AC與BD交點(diǎn)為F,由(1)知,AC⊥EF,結(jié)合平面知識當(dāng)△AEC面積的最小值是9時,EF取得最小值3,進(jìn)而根據(jù)三角形相似得到答案.
(3)建立空間坐標(biāo)系,分別求出平面的法向量與直線所在的向量,再利用向量之間的運(yùn)算求出兩個向量的夾角,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線面角得到答案.
解答:解:(1)∵PD⊥面ABCD,∴PD⊥AC
∵四邊形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC
∴AC⊥面PBD
∴AC⊥DE
(2)設(shè)AC與BD交點(diǎn)為F,由(1)知,
AC⊥EF
當(dāng)△AEC面積的最小值是9時,
EF取得最小值3
在△PBD中,當(dāng)FE⊥PB時,EF最小,此時EB=
BF2-EF2
=3
2

由△BEF∽△BDP得
EF
EB
=
PD
BD
,解得PD=3
6

(3)以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)B,F(xiàn)C所在直線分別為x軸、y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
P(-3
3
,0,3
6
),B(3
3
,0,0)
EB
=
1
3
PB
=
1
3
(6
3
,0,3
6
)=(2
3
,0,
6
)

BC
=(-3
3
,3,0),
BG
=t
BC
=(-3
3
t,3t,0)

EG
=
EB
+
BG
=(2
3
-3
3
t,3t,-
6
)

而面PAB的法向量
n
=(
2
,-
6
,2)

由已知得cos<
n
,
EG
>=
2
5
,解得t=
2
3
∴存在靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)G滿足題意
點(diǎn)評:解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)而得到線線、線面關(guān)系,也有利于建立空間坐標(biāo)系利用向量求解線面角;此題考查學(xué)生的空間想象能力,邏輯思維能力,計算能力,轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大。

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點(diǎn)A在PD上的射影為點(diǎn)G,點(diǎn)E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積V.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點(diǎn)
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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